Ganhos e perdas, e certa marcha

Lendo muitos comentários em fóruns do mercado de ações, tenho percebido um estranho comportamento que é ligado a uma questão em matemática simples que é seguidamente mal entendida, para não dizer a causa de uma completa confusão e origem de muitos erros em negócios e até na condução de importantes operações.

A coisa que tratarei nasce de achar-se que ao acrescentar-se 10% a um valor inicial, e depois tirar 10% deste valor resultante, obtem-se o valor inicial.

Pasmem aqueles mais familiarizados com números, pois a coisa é essa mesmo e produz enorme quantidade do que chamo de “babadas”.

As pessoas seguidamente não apercebem-se que acrescentar 10% é correspondente a multiplicar-se por um índice igual a 1,1 , da mesma maneira que descontar-se 10% é igual a multiplicar-se por um índice igual a 0,9.

O que não se apercebem realmente é que um índice de 1,1 tem como valor inverso um índice de 0,9090..., que poderia ser aplicado como divisor, enquanto um índice de 0,9 tem como inverso um índice, digamos agora divisor, igual a  1,111..., ou, em outras palavras, não são um o inverso do outro.

Assim, pelo mesmo motivo que uma perda num valor de ações de 50% (índice 0,5) num período não é reposta por uma valorização de 50% (índice 1,5) e sim por uma valorização de 100% (índice 2, inverso de 0,5), um conjunto de ciclos de valorizações-desvalorizações de mesmo valor em % sempre tenderá a um valor decrescente do valor resultante, não interessando o índice ser igual em cada ciclo.

Para um valor pequeno como 1%, podemos dizer que tirar 1% e depois acrescentar 1% (multiplicar por 1,01 e depois multiplicar por 0,99) resultará num índice de multiplicação de 0,9999, ou seja, descontar 0,01%. Similarmente, para 10% teremos 0,99 (1,1 multiplicado por 0,9), e assim por diante.

Considerando vi o valor inicial, vf o valor final, j este índice colocamos de valorização-desvalorização, podemos considerar o número n de ciclos como sendo dado por

Para Latex: v_i*(j^n)=v_f \therefore ln[v_i*(j^n)]=ln v_f\therefore ln v_i+ln j^n=lnv_f

Para Latex: ln j^n=lnv_f-ln v_i\therefore n.ln j=lnv_f-ln v_i\therefore n=\frac{lnv_f-ln v_i}{ln j}

Em planilha: docs.google.com

De onde temos que para 10% teremos a transformação, digamos, de uma ação cotada numa determinada data a 100 passando a valer 0,01 em pouco mais de 916 ciclos, ou, em dias alternados, em pouco mais de 1832 dias de operações desta maneira alternadas na bolsa.

Se acham que tal é falta de perceber-se uma coisa óbvia, percebam que sempre existem aqueles que acham que tudo está salvo numa ação que perdeu 5% num dia, mas recuperou 5% no outro dia, e pior ainda, os que não percebem que pelo mesmo motivo, quando uma operação, digamos comercial, tem uma margem “aparentemente líquida” de 10%, ao receber prejuízos por inadimplência de 10% no outro dia, vai durar sem passar por graves apuros pouco antes de 7 anos, como acabamos de calcular.

Como sempre, recomendamos:

Inoperacionalidade e Colapsos de caixa - Uma série de observações sobre processos que levam empresas à falência - Inoperacionalidade e colapsos de caixa - sites.google.com